LOGIKA

Logika merupakan dasar dari semua penalaran yang didasarkan pada hubungan antara pernyataan. Sedangkan proposisi adalah pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh proposisi:

(a) 16 adalah bilangan genap

(b) Blackberry adalah produk dari RIM.

Contoh bukan proposisi

(a) Kapan hari kemerdekaan Republik Indonesia?

(b) Isilah gelas tersebut dengan pasir!

Jadi kesimpulannya proposisi adalah kalimat berita

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

I. Mengkombinasikan Proposisi

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Konjungsi (conjunction): p dan q (Notasi p ^ q)

2. Disjungsi (disjunction): p atau q Notasi: p v q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: ~p

p dan q disebut proposisi atomik. Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition)

Contoh :

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Hari ini gempa

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p ^ q : Hari ini gempa dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p v q : Hari ini gempa atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p : Tidak benar hari ini gempa (atau: Hari ini tidak gempa)

Contoh :

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Wanita itu ramah

q : Wanita itu baik hati

Nyatakan dalam bentuk simbolik:

(a) Wanita itu ramah dan baik hati

(b) Wanita itu ramah tapi tidak baik hati

(c) Wanita itu tidak ramah maupun baik hati

(d) Tidak benar bahwa wanita itu ramah atau tidak baik hati

Penyelesaian:

(a) p ^ q

(b) p v ~q

(c) ~p ^ ~q

(d) ~(~p v ~q)

Contoh :

 Misalkan

 p : 11 adalah bilangan prima (benar)

 q : bilangan prima selalu ganjil (salah)

 p ^ q : 11 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil (salah)

Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi majemuk (p ^ q) v (~q ^ r).

Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Contoh

 p v ~(p ^ q) adalah sebuah tautologi

Contoh

(p ^ q) ^ ~(p v q) adalah sebuah kontradiksi

Contoh

Tunjukkan bahwa p Ú ~(p Ú q) dan p Ú ~q  keduanya ekivalen secara logika.

Penyelesaian:

p v ~(p v q ) = p v (~p ^ ~q) (Hukum De ogran)

                    = (p v ~p) Ù (p v ~q) (Hukum distributif)

                    = T ^ (p v ~q) (Hukum negasi)

                    = p v ~q (Hukum identitas)

Disjungsi Eksklusif

Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara:

1.  Inclusive or “atau” berarti “p atau q atau keduanya”                                                                 Contoh: “Tenaga IT yang dibutuhkan menguasai Bahasa C++ atau Java”. 
2. Exclusive or “atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”.                                                           Contoh: “Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta”.

Operator logika disjungsi eksklusif: xor

Tabel kebenaran:

 

II. Proposisi Bersyarat

• Bentuk proposisi: “jika p, maka q”  (Notasi: p -> q)

• Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi

• Proposisi q disebut konklusi (konsekuen).

Contoh :

a. Jika Dika lulus ujian, maka Dika mendapat hadiah dari Ibu

b. Jika suhu mencapai 90°C, maka alarm akan berbunyi

c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri

Cara-cara mengekspresikan implikasi p -> q:

• Jika p, maka q

• Jika p, q

• p mengakibatkan q (p implies q)

• q jika p

• p hanya jika q

• p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) )

• q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) )

• q bilamana p (q whenever p)

Contoh:

 Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:

1. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.

2. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.

3. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Contoh:

Ubahlah proposisi pada Contoh di atas ke dalam bentuk proposisi “jika p maka q”

Penyelesaian:

1. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.

2. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.

3. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus mata kuliah Matematika Diskrit.

Penjelasan:

Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Ingat: p -> q dapat dibaca p hanya jika q

p : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal

q : Ahmad sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Notasi standard: Jika p, maka q

Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Contoh:

x : Anda berusia 17 tahun

y : Anda dapat memperoleh SIM

Nyatakan preposisi berikut ke dalam notasi implikasi:

(a) Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM.

(b) Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun.

(c) Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun.

Penyelesaian:

(a) Pernyataan yang ekivalen: “Anda dapat memperoleh

SIM hanya jika anda berusia 17 tahun”.

Ingat: p -> q bisa dibaca “p hanya jika q”.

Notasi simbolik: y -> x.

(b) Pernyataan yang ekivalen: “Anda berusia 17 tahun

adalah syarat cukup untuk dapat memperoleh SIM”.

Ingat: p -> q bisa dibaca “p syarat cukup untuk q”.

Notasi simbolik: x -> y.

(c) ~y -> ~x

Varian Proposisi Bersyarat

Konvers (kebalikan): q -> p

Invers : ~ p -> ~ q

Kontraposisi : ~ q -> ~ p

Contoh :

 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:

“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”

Penyelesaian:

Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil

Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya

Kontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

Contoh :

Tentukan kontraposisi dari pernyataan:

(a) Jika dia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara.

(b) Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif.

(c) Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.

Penyelesaian:

(a) Jika ia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia tidak bersalah.

(b) Jika 6 bilangan negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0.

(c) “Jika Iwan lulus ujian maka ia sudah belajar”.

Kontraposisi: “Jika Iwan tidak belajar maka ia tidak lulus ujian”

Bikondisional (Bi-implikasi)

·  Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”

·  Notasi: p <-> q

·  p <-> q = (p -> q) ^ (q -> p)

Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.

Cara-cara menyatakan bikondisional p « q:

(a) p jika dan hanya jika q.

(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.

(c) Jika p maka q, dan sebaliknya.

(d) p iff q

Referensi : Ir. Hasanuddin Sirait, M.T , MateMatika Diskrit, STMIK “Parna Raya” Manado